非線性混沌理論的兩種非線性參數(shù)估計(jì)范文
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《動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)》2014年第二期
1兩種非線性預(yù)測(cè)方法的算法原理
1．1基于代替數(shù)據(jù)法的混沌辨識(shí)(1)信號(hào)的代替數(shù)據(jù)集的生成信號(hào)所對(duì)應(yīng)的代替數(shù)據(jù)集可以由基于時(shí)間序列的Gauss隨機(jī)過(guò)程假設(shè)得到．本文通過(guò)對(duì)非Gauss過(guò)程有效的非線性直方圖變換方法來(lái)實(shí)現(xiàn)．對(duì)于一個(gè)原始信號(hào)，一般生成包含128個(gè)不同時(shí)間序列的代替數(shù)據(jù)集．進(jìn)行直方圖變換時(shí)，首先生成一個(gè)與原給定時(shí)間序列長(zhǎng)度相同的Gauss隨機(jī)數(shù)集合，然后對(duì)這個(gè)Gauss數(shù)據(jù)集的順序進(jìn)行重排．新的時(shí)間序列應(yīng)是具有Gauss概率密度函數(shù)分布的、與原序列相對(duì)應(yīng)的非線性尺度變換的結(jié)果．對(duì)于原始信號(hào)是Gauss隨機(jī)的情況，變換后的序列也具有Gauss分布．第一步是，將時(shí)間序列x(n)進(jìn)行傅立葉變換，得到接下來(lái)，通過(guò)將上述復(fù)數(shù)乘以eiφ使其相位角在每個(gè)頻率上隨機(jī)化，其中φ是歸一化的、在［0，2π］區(qū)間內(nèi)變化的隨機(jī)量，得到新的X''''(k)．對(duì)其進(jìn)行逆傅立葉變換，可以得到Gauss型代替數(shù)據(jù)序列，也就是得到具有原始信號(hào)相同的幅值分布形式的代替數(shù)據(jù)序列x''''(n)，如下式(2)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算由于低維混沌意味著其系統(tǒng)在短期內(nèi)可以視為是確定性的，而隨機(jī)過(guò)程與此不同．可以將預(yù)測(cè)誤差ε取為統(tǒng)計(jì)量．首先利用狀態(tài)變量x將時(shí)間序列x(n)進(jìn)行相空間重構(gòu)，采用時(shí)間滯后的嵌入法，即其中嵌入維數(shù)d應(yīng)該滿足d≥2D+1，D是系統(tǒng)的真實(shí)吸引子維數(shù)，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中往往需要依靠經(jīng)驗(yàn)選取．注意到這里的n小于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，即1≤n≤N．時(shí)間滯后點(diǎn)τ的選擇有時(shí)具有一定隨意性，在這里簡(jiǎn)單地取作1．下面將時(shí)間序列的數(shù)據(jù)點(diǎn)集分成長(zhǎng)度相等(Nf=Nt)的擬合集和檢驗(yàn)集兩部分．在擬合集中，尋找與當(dāng)前點(diǎn)歐幾里德距離最為相鄰的k個(gè)狀態(tài)點(diǎn)．這k個(gè)當(dāng)前時(shí)刻為m的狀態(tài)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的下一時(shí)刻m+1的狀態(tài)點(diǎn)組成如下k個(gè)點(diǎn)對(duì):接下來(lái)，計(jì)算檢驗(yàn)集Nt中的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)誤差，將得到N/2個(gè)預(yù)測(cè)誤差．預(yù)測(cè)誤差的定義為由(6)式得到的下一時(shí)刻(m+1)的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值的差值．中，QD是由原始信號(hào)時(shí)間序列計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量值(MAE值)，us和σs分別是由生成的128個(gè)代替數(shù)據(jù)序列計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量值的均值和方差．計(jì)算得到的χ值可以用于分析原始信號(hào)數(shù)據(jù)和代替數(shù)據(jù)的差異．如果χ是一個(gè)較小的數(shù)，這意味著原始信號(hào)和它的所有代替數(shù)據(jù)集具有相同的性質(zhì)，因此隨機(jī)假設(shè)可以接受，也就是原始信號(hào)是隨機(jī)的．相反，如果χ值較大，可以認(rèn)為代替數(shù)據(jù)序列與原始信號(hào)有較大的差別，拒絕隨機(jī)假設(shè)．更進(jìn)一步，為了辨識(shí)原始數(shù)據(jù)序列是隨機(jī)的還是混沌的，定義如式(8)所示的置信判據(jù)．拒絕隨機(jī)假設(shè)的最大概率也就是相應(yīng)的顯著度P定義為據(jù)經(jīng)驗(yàn)，如果計(jì)算得到的概率P值小于0．05，原始信號(hào)數(shù)據(jù)將顯著地不同于它的代替數(shù)據(jù)集，這時(shí)可以拒絕隨機(jī)假設(shè)，認(rèn)為原始信號(hào)在95%置信度下是混沌的．如果P值大于0．05，則認(rèn)為原始信號(hào)是隨機(jī)的(95%置信度)．當(dāng)然，這里的臨界值0．05可以根據(jù)實(shí)際情況的不同而不同．
1．2Lyapunov指數(shù)的估計(jì)算法Lyapunov指數(shù)的估計(jì)算法也是基于非線性預(yù)測(cè)理論的．進(jìn)行相空間重構(gòu)后，考慮兩條具有不同因?yàn)閜是一個(gè)較大的整數(shù)，由此得到的Lya-punov指數(shù)是每個(gè)相點(diǎn)在其軌線上以指數(shù)形式發(fā)散的統(tǒng)計(jì)平均值．在上述Lyapunov指數(shù)中，一個(gè)或多個(gè)Lyapunov指數(shù)可能都是正的．根據(jù)非線性理論，正的Lyapunov指數(shù)意味著該時(shí)間序列(信號(hào))是混沌的．
2實(shí)例
對(duì)某薄壁構(gòu)件進(jìn)行寬頻隨機(jī)激振試驗(yàn)．外激勵(lì)為500Hz范圍內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)白噪聲，對(duì)構(gòu)件的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行測(cè)試．由于是兩種性質(zhì)不同的非線性邊界條件，得到的構(gòu)件振動(dòng)響應(yīng)呈現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)特征，其中應(yīng)該蘊(yùn)含著不同的特征．圖1所示為測(cè)試得到的兩組振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間信號(hào)，分別記為x1和x2．它們所對(duì)應(yīng)的功率譜密度(PSD)如圖2所示．從圖(2)只能看出，這兩個(gè)信號(hào)都具有0－500Hz有限頻帶分布的特征，形狀上僅有稍微區(qū)別．因此，僅從圖1和圖2人們很難區(qū)分這兩個(gè)信號(hào)．首先從非線性定性分析的角度對(duì)這兩組信號(hào)進(jìn)行比較．可以利用連續(xù)峰值來(lái)繪制這兩個(gè)信號(hào)的偽Poincare映射圖．設(shè)是一個(gè)時(shí)間序列的峰值集合，則它的偽Poincare映射圖是指對(duì)應(yīng)繪出的點(diǎn)圖．如果考慮采樣誤差，信號(hào)的周期點(diǎn)會(huì)在偽Poin-care映射圖表現(xiàn)為一個(gè)較小的區(qū)域．而偽Poincare映射圖中出現(xiàn)分散的點(diǎn)區(qū)域時(shí)，根據(jù)非線性混沌理論，表明存在不規(guī)則或奇怪吸引子．對(duì)于這兩個(gè)信號(hào)x1和x2，它們的偽Poincare映射圖如圖3所示．從圖3(a)和(b)可以看出，信號(hào)x1和x2的偽Poin-care映射圖在形貌上還是有區(qū)別的．根據(jù)前文所介紹的非線性混沌分析理論，用代替數(shù)據(jù)法計(jì)算得到的關(guān)于x1和x2的概率P值見(jiàn)表1．如1．1節(jié)所言，如果P值小于0．05，則拒絕隨機(jī)假設(shè)，信號(hào)的混沌特性得到辨識(shí)(95%的置信度)．因此信號(hào)x1和x2都可以認(rèn)為是混沌時(shí)間序列．另外，從表1中的其它特征值來(lái)看，如QD，us和χ，也可以對(duì)這兩組信號(hào)加以定量地對(duì)比區(qū)分．計(jì)算得到的x1和x2的Lyapunov指數(shù)如表2所示．在估算這兩組信號(hào)的Lyapunov指數(shù)的過(guò)程中，相空間重構(gòu)的嵌入維數(shù)設(shè)為5，滯后點(diǎn)數(shù)設(shè)為7．從表2可以看出，x1信號(hào)有2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，即1．1785、0．1846，信號(hào)x2有3個(gè)正的Lya-punov指數(shù)，即0．9674、0．1857和0．0184．所以，這兩組信號(hào)可以視為是混沌的，但具有不同的混沌階數(shù)．
3結(jié)論
本文利用基于混沌理論的非線性預(yù)測(cè)方法對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行了比較分析．從定量分析研究的角度，所采用的代替數(shù)據(jù)法和Lyapunov指數(shù)估計(jì)方法對(duì)區(qū)分具有不同非線性性質(zhì)的非平穩(wěn)信號(hào)是有效的．對(duì)于兩個(gè)典型的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)x1和x2，代替數(shù)據(jù)法所得到的特征參數(shù)的數(shù)值是互不相同的，估算得到的最大Lyapunov指數(shù)也是正的．根據(jù)代替數(shù)據(jù)法中的概率值的大小可以看出，x1比x2具有更明顯的混沌特征，但是x1有2個(gè)正的Lya-punov指數(shù)，而x2有3個(gè)正的Lyapunov指數(shù)．
作者：魏春雨楊威王梓卉敏韓清鵬單位：遼寧科技大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院