數學中的反證法范文

前言：我們精心挑選了數篇優質數學中的反證法文章，供您閱讀參考。期待這些文章能為您帶來啟發，助您在寫作的道路上更上一層樓。

第1篇

何 昊

（江蘇省南京市第十三中學鎖金分校）

摘 要：系統地介紹了理論基礎，對反證法的邏輯形式，唯一的負命題，命題，肯定命題三用反證法適用的命題類型進行了詳細討論。

關鍵詞：反證法；否定性；唯一性

在數學的諸多方法中，反證法是一種重要的證明方法，尤其在數學證明中，它是一種間接的證據，被稱為“一個最先進的武器”的數學家.反證法經常被用來證明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命題.用反證法證明命題成立的基本步驟可以簡單地概括為“否定―推理―反駁―肯定”四個步驟.一個數學問題的解決方案，如果你覺得不足或沒有啟動的“條件”，不妨考慮反證法的使用.反證法的應用范圍很廣，比如代數、數論、幾何、組合等方面的應用.

一、反證法的概念及類型

反謂反證法，就是在要證明“若A則B”時，可以先將結論B予以否定，記作，然后從A與出發，經正確的邏輯推理而得到矛盾，從而原命題得證.

反證法大致可分為以下兩種類型：

歸謬法：論題結論的反面只有一種情況，只要把這種情況就達到了目的.

窮舉法：論題結論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結論正確.

二、反證法常用于以下幾種命題的證明

1.存在性命題

例1：證明A，B，C，D，E五數之和等于5，則其中必有一個不小于1.

分析：這個問題似乎很簡單，但直接的證明是不容易的.因此，應用反證法，它可以很容易地證明.

證明：假設A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E

所以5個數都小于1不成立，故必有一個數不小于1，即原命題是正確的.

2.否定性命題

例2：設平面上有六個圓，每個圓的圓心都在其余各圓的外部.試證明：平面上任一點都不會同時在這六個圓的內部.

分析：直接證明某點在哪些圓的內部，在哪些圓的外部，有些困難，故最好用反證法來證明.

證明：假設平面內有一點M同時在這六個圓的內部，為了方便，我們把繞M的六個圓心從某個開始按順時針方向分別記為A，B，C，D，E，F，連結MA，MB，MC，MD，ME，MF.

考慮AMB，M在A內，B在A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在AMB中，AB大于其他兩邊.

由“大邊對大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.

所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°.

同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.

但是，很顯然，這個角圍成了一個周角，它們的和不可能大于360°，出現矛盾.

故而假設不正確，所以原命題成立.

3.唯一性命題

例3：求證方程x=sinx+a（a為常數）的解唯一.

分析：直接解或證明是非常困難的，作為唯一的命題往往采用反證法證明.

所以原方程的解是唯一的.

從上面的例子中，我們可以看到，最大的優勢是反證法――超過一個或幾個條件，從相反的結論來看，與一些已知的條件下，原出口的沖突，從而達到負的假設、肯定原命題的目的.從上面，我們應該充分利用反證法，必須正確把握靈活運用“反設”“歸謬”這兩個反證步驟.反設是反證法的第一步，能否正確否定結論，對論證的正確性有著直接的影響.

反證法是很巧妙的，它的應用是很廣泛的，但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法，卻很難回答，這是一個經驗問題.

參考文獻：

[1]李建泉.中等數學[M].中國學術電子出版社，2004.

[2]劉廣云.數學分析選講[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，1993.

[3]張順燕.數學的思想、方法和應用[M].北京：北京大學出版社，2003.

第2篇

關鍵詞： 中學數學教學 反證法 使用條件

在生活中，我們都有這樣的常識，去掉大米中的砂粒，有兩種方法.一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地揀出來；一種是用間接的方法――淘洗法，把砂粒殘留下來.這兩種方法雖然形式不同，但結果卻是一樣的，都能達到去掉砂粒的目的.有時用直接方法很困難，而用間接方法卻容易得多.牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一.”當一些命題不易從正面直接證明時，就可考慮用反證法.

一、反證法的基本概念

1.反證法的定義

法國數學家阿達瑪對反證法的實質做了如下概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾.”這是對反證法的極好概括.其實反證法也稱作歸謬法。反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較簡單的題目，在高中數學中的應用較為廣泛，在解決一些較難問題的時候，反證法能體現其優越性.

2.反證法的基本思想

反證法的基本思想就是否定之否定，這種基本思想可以用下面的公式表示：

“否定推理矛盾肯定”，即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定.

3.反證法的邏輯依據

通過以上三個步驟，為什么能肯定原命題正確呢？其邏輯根據就在于形成邏輯的兩個基本規律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假.再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的.

二、反證法的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1.反設.假設原命題的結論不成立；

2.歸謬.從這個結論出發，經過推理論證，得出矛盾；

3.結論.由矛盾判定假設不成立，從而肯定原命題的結論正確.

即：否定結論推導出矛盾結論成立.

三、反證法的種類

1.歸謬反證.結論的反面只有一種情形，只要把它駁倒，就能達到證題目的.

2.窮舉反證.結論的反面不止一種情形，必須將它們逐一駁倒，才能達到證題目的.

四、反證法的典型例題

例1：已知：AB，CD是圓內非直徑的倆弦（如圖），求證：AB與CD不能互相平分.

證明：假設AB與CD互相平分與點M，則由已知條件AB，CD均非圓O直徑，可以判定M不是圓心O，聯結OA，OB，OM.

因為OA=OB，M是AB中點，所以OMAB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.同理可得：OMCD，從而過點M有兩條直線AB，CD都垂直于OM.這與已知的定理相矛盾.故AB與CD不能互相平分.

五、反證法的使用條件

任何方法都有它成立的條件，也都有它適用的范圍.離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，問題解決也就沒有那么容易.因此，我們應該學會正確使用反證法解題.

雖然用反證法證明，邏輯推理嚴謹而清晰，論證自然流暢，可謂是干凈利落，快速而可行，是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優點：如思想選擇的余地大、推理方便等.但是并不是什么題目都適合用反證法解決.

例2：如果對任何正數p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實數，則系數a=0，試證之.

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實第三步，即肯定原結論成立的論證錯了.因為，本題的題設條件為對任意正數p，y=0有兩個正實數根，結論是a=0，但本題的題設條件與結論是矛盾的；當a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數p，它只有一個根；在b=0時，僅當p=-c>0的條件下，它有無數個根，否則無根，但總之不會有兩個根.題設條件和結論矛盾.因此，本題不能反證法來處理.若原題改為“如果對于任何正數p，只存在正實根，則系數a=0”，就能用反證法證明.

因此，對于下列命題，較適用反證法解決.

（1）至多至少型命題；（2）唯一性命題；（3）否定型命題；（4）明顯型命題；（5）此前無定理可以引用的命題.

例3：設a，b都是正數，求證：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

證明：反設ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由對稱性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0這一矛盾說明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交換位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反證法是數學中的一種重要的證明方法.牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一.”它是從命題的否定結論出發，通過正確的邏輯定理推理導出矛盾，從而證明原命題的正確性的一種重要方法.反證法之所以有效是因為它對結論的否定實際上增加了論證的條件，多一個條件，這對發現正確的解題思路是有幫助的.對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，通過逆向思維，從結論入手進行反面思考，問題就能迎刃而解.在現代數學中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一.

參考文獻：

[1]趙振威.中學數學教材教法[M].華東師范大學出版社，2000.

[2]劉世澤.反證法的邏輯依據[J].高等函授學報，1997（4）.

[3]耿素云.離散數學[M].北京：高等教育出版社，1998.

[4]趙杰.反證法―――化難為易的法寶.中學生數理化（高二版），2010，（3）.

[5]路從條.“反證法”思想在中學教學中的運用.福建教育學院學報，2003，（3）.

第3篇

關鍵詞：反證法；證明；矛盾；命題；假設

有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天他和小朋友發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的?！边@個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃.在數學里這種方法叫反證法.

反證法不但在實際生活和初等數學中有著廣泛的應用，而且在高等數學中也具有特殊作用.數學中的一些重要結論，從最基本的性質、定理，到某些難度較大的世界名題，往往是用反證法證明的.即：提出假設――推出矛盾――肯定結論.

“反證法”雖然是在平面幾何教材中出現的，但對數學的其他各部分內容，如代數、三角、立體幾何、解析幾何中都可應用.下面通過具體的例子來說明其應用。

一、否定性命題

證明：假設AB，CD不平行，即AB，CD交于點P，則過P點有ABEF，且CDEF，與“過直線外一點，有且只有一條直線垂直于已知直線”矛盾.假設錯誤，則AB∥CD

否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現矛盾，出現什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準，有的甚至是捉摸不定的.一般總是在命題的相關領域里考慮（例如，平面幾何問題往往聯系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點.因此在推理前不必要也不可能事先規定要得出什么樣的矛盾.只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一經出現，證明即告結束.

反證法推理過程中出現的矛盾是多種多樣的，推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾，可能與臨時假設矛盾，或推出一對相互矛盾的結果等.