高等數學可視化教學與創新能力培養范文

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《合肥師范學院學報》2016年第6期

［摘要］高等數學是一門結構嚴謹、邏輯性較強的基礎數學課程。以培養學生的創新能力為目標，提出了高等數學的可視化教學方法。從最簡單的微分概念開始，結合matlab軟件，通過步步設問、層層深入、數形結合的方式，深入淺出的探討了泰勒公式、傅里葉級數以及傅里葉變換等幾個概念。這不僅有助于數學概念的理解，而且無形中激發了學生的學習興趣，培養了學生獨立思考的能力和創新能力。

［關鍵詞］可視化教學；泰勒公式；傅里葉級數；傅里葉變換

高等數學是普通高等院校理工科專業本科生的一門必修課程。雖然是一門基礎課程，但是其在各專業核心課程的學習中卻發揮著非常重要的作用。然而現實生活中，很多大一新生并沒有認識到高等數學在后續專業課學習中的重要性，因而對枯燥的數學公式漸漸失去了學習的興趣，數學無用的思想油然而生。如何在枯燥的數學公式中讓學生找到學習的樂趣，培養他們獨立自主的創新能力是高等數學教學改革的重要內容。

李大潛院士曾經在《漫談大學數學教學的目標與方法》中提到“如果將數學教學僅僅看成是知識的傳授（特別是那種照本宣科式的傳授），那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發揮作用；而掌握了數學的思想方法和精神實質，就可以由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力”。近年來數學實驗與可視化教學在掌握數學思想方面發揮了非常重要的作用．為了能更好的“演繹出千變萬化的生動結論”，本文從最基本的微分概念出發，結合matlab軟件探討泰勒級數、傅立葉變換等概念的本質特征及其之間的聯系。引導學生自覺培養創新能力和動手實踐能力，加強高等數學與專業課之間的聯系，從而減少學習高等數學的盲目性，提高數學學習的興趣。

1微分的近似計算

為了解決“直與曲”的問題產生的微分概念，給出了函數的局部線性近似。Δx越小，則微分近似值y1與函數值y之間的誤差oΔ（x）越小。很明顯在x0附近，微分近似計算公式（公式（1））是利用x的線性函數近似計算函數值f（x），由于舍掉的是Δx的一個高階無窮小量，因此隨著Δx的增加這種近似計算的精確度并不高。2泰勒公式要提高微分近似計算的精確度，也就是要減少誤差oΔ（x）。（3）可以看作微分近似計算公式（公式（1））的推廣，其精確度有了很大提高。如果用公式（3）對應的n次泰勒展開式近似計算f（x），那么其誤差Rn（）x是Δxn的一個高階無窮小量。為了比較近似效果，對公式（2）所示函數用不同次數的泰勒展開式在x0附近去近似計算f（x）。在matlab中利用y1＝taylor（exp（x．＾2），3，x，0．6），y2＝taylor（exp（x．＾2），4，x，0．6）分別獲得函數f（x）＝ex2在x0＝0．6處的2次和3次泰勒展開式。比較圖2中兩個泰勒展開式的近似結果可以看出隨著次數的增加，泰勒展開式的近似效果明顯提高，尤其是在遠離x0＝0．6處（圖2）。

3傅里葉級數

雖然高次泰勒展開式在x0附近能夠給出很好的函數f（x）的近似結果（圖2），但是這種近似卻不具有整體性，即遠離點x0時的近似效果較差。同時，需要函數f（x）滿足一定的條件，要求在點x＝x0要具有任意階導數。換個角度，泰勒公式可以看作函數f（x）在基底1，x，x2，x3…上的展開，那么如果換成由正弦函數和余弦函數組成的正交三角函數集作為基函數，可能會完善泰勒展開式中存在的問題，這就產生了著名的傅里葉級數。

4傅里葉變

換對于非周期函數f（）t，傅里葉變換將其看作周期無窮大的函數，用無窮多個三角函數進行計算。也就是說傅里葉變換是將一個時域非周期的連續函數f（）t，用一個在頻域非周期的連續函數f（ω）表示，因此也是一種頻域分析方法。因為三角函數集是一個完備的正交函數集。

5結論

高等數學是一門推理嚴謹、邏輯性較強的基礎數學課程，將數學實驗與可視化方法引入到高等數學的教學中有助于學生對基本概念的理解。同時，借助于數形結合，啟發學生不斷提出新的問題，提高求知欲。結合圖1，為了提高微分近似計算的精確度，很容易掌握泰勒展開式的本質并且從圖2中看到效果。傅里葉級數在周期函數展開中的重要地位，同時理解頻域分析方法。結合極限思想，很容易將傅里葉級數推廣到非周期函數的傅立葉變換。由此可見可視化方法在培養學生的創新能力具有明顯的促進作用。

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作者：于紹慧 單位：合肥師范學院