期貨定價國債論文范文

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一、標準券、轉換因子與CTD券

與股指期貨標的資產的“唯一性”不同，國債期貨最主要的特點就是其標的資產的“多樣性”，滿足一定要求的國債均是其標的資產，都可用于到期交割。盡管有很多現貨，但期貨報價只有一個，因此每份國債期貨合約均引入虛擬的“標準券”，期貨報價以標準券報價，同時交易所公布所有可交割券與這一標準券之間的轉換因子，實現標準券與真實券價格之間的轉換。具體來說，中國5年期國債期貨合約規定，其標準券是在期貨到期月時剩余期限5年整、票面利率3%的虛擬券，而只要是在期貨合約到期月首日剩余期限為4至7年的記賬式附息國債均是其標的資產。每份期貨合約上市交易時，中金所都會公布該合約對應的所有已發行可交割券①及其相應的轉換因子(ConversionFactor，以下用CF表示)。例如，轉換因子為0．9812，意味著該只真實可交割券的期貨凈價是標準券期貨凈價的0．9812倍。轉換因子的基本計算原理是:以相同的貼現率(3%)同時計算所有真實可交割券和虛擬標準券在期貨到期時的凈價，每個真實券的凈價與標準券凈價之比就是該真實券的轉換因子。②其基本邏輯是:當我們以同樣的定價基準(即相同貼現率)在同一個時刻(期貨到期日)計算不同債券的價格，如果標準券凈價為100元，而某真實券的凈價為98．12元，可以認為真實券的期貨價格應是標準券期貨價格的0．9812倍。盡管具有一定的合理性，然而轉換因子的計算卻并非是完美的。真正公平的轉換因子應當是期貨到期時可交割券的真實凈價與標準券真實凈價之比。但在期貨到期前，由于無法事先預知這些債券的真實價值，交易所只能以假設的統一貼現率(3%)作為定價基準來實現盡量公平的轉換。由于轉換并不完美，到期時不可避免地存在交割某只債券比其他債券更加合算的情形，而國債期貨合約規定最終交割時由期貨空方決定選擇哪只債券進行交割，相對合算而會被期貨空方選中進行交割的債券就被稱為“最合算可交割券”(TheCheapesttoDeliver，下稱“CTD券”)。而期貨空方所擁有的這種權利就稱為“擇券期權”或“質量期權”。顯然，由于對空方有利而對多方不利，這一期權的價值必然會使得國債期貨的價格相對有所下降。因此，要為國債期貨合理定價，必須考慮這一質量期權的價值。

二、不考慮質量期權的國債期貨定價

如果不考慮國債期貨中的質量期權價值，與其他期貨一樣，國債期貨可以用“持有成本法”定價③，用連續復利表示為Ft=Pt+AIt－It()er(T－t)(1)其中，t和T分別為定價時刻和國債期貨到期時刻，Pt、AIt和Ft分別為t時刻的現券凈價、應計利息和期貨全價，It為國債期貨剩余期限內現券所付現金票息的現值，r為t到T的無風險連續復利利率。在使用式(1)的持有成本模型為國債期貨定價時，需要注意兩個問題:現券的選擇和標準券凈價的轉換。所謂現券的選擇是指國債期貨的可交割券不止一種，在使用持有成本法時，首先要確定公式中的Pt和AIt是哪一個現券的凈價和應計利息。理論上應選擇CTD券，因為這是期貨賣方最終用于交割的券。但在期貨到期交割之前，人們無法預知哪個券是CTD券，因此在到期之前的t時刻，只能選擇當時的信息條件下最可能被交割的“準CTD券”作為定價基準。一般認為，給定時刻IRR(ImpliedRepoRate，隱含回購利率)最大的券就是當時條件信息下的“準CTD券”。其中τ為債券付息時刻。可以看出，對期貨空方來說，IRR最大意味著在t時刻購買該現券，并通過期貨鎖定未來的賣價，所能獲得的年化收益率最大，從而是t時刻信息下的最合算債券。①在實際操作中，IRR并非唯一的確定標準。例如，在中國市場上，由于國債現券缺乏流動性，當日IRR高的債券不一定能買到，或不一定能按看到的市場價格成交。另一種可能的情形則是，雖然IRR高的債券改變了，但市場可能整體存在一定的慣性，或存在一定的換券成本，或不同市場的參與者對可交割券存在不同的偏好，這使得市場不會輕易改變之前對“準CTD券”的判斷，即市場對“準CTD券”選擇并非完全理性。因此，一種可行的做法是將IRR與流動性指標和市場整體判斷相結合:先計算IRR并進行排序，而后根據市場的流動性、債券可得性和市場的慣性來判斷當日的“準CTD券”。所謂標準券凈價的轉換是源于國債期貨市場使用標準券凈價報價，而式(1)計算得到的卻是針對真實券的期貨全價，因此需要減去“準CTD券”在交割時的應計利息得到凈價，再除以該券的轉換因子，得到對應的標準券期貨凈價，才是最終在交易中使用的國債期貨報價。

三、國債期貨中的質量期權定價研究

盡管看起來步驟較多，上述不考慮質量期權的國債期貨定價本身并不復雜。但如果考慮期貨空頭所擁有的質量期權，問題就沒有那么簡單了。研究者們從不同的角度、采用不同的方法對這一復雜問題進行了探索，從現有文獻來看，主要方法大致分為以下四種:

(一)已實現期權價值法

此類研究的基本思路是利用歷史的真實交割數據計算已實現質量期權價值。所謂“已實現”是指基于歷史的真實數據進行回溯，假設期貨空方在到期前已經買入某一債券，再計算期貨到期時，空方更換為最合算的CTD券進行交割所得到的額外回報，如Hegde(1990)和Hemler(1990)。已實現期權價值法的最大優點是不需要對債券價格和利率過程做任何假定，可以從一個側面來研究歷史上質量期權價值占國債期貨價格的比例，例如Hemler(1990)發現1977—1986年間美國長期國債已實現質量期權的價值大約占期貨面值的0．2%。但這類方法也存在兩個不足:第一，為了保證得到的結果具有統計意義，此方法需要一段足夠長時間的真實到期交割數據作為研究樣本;第二，該方法只能計算得到質量期權價值的歷史表現，并不能用于國債期貨和質量期權的實時定價。

(二)隱含期權價值法

此類研究的基本思路是利用歷史的真實成交價格數據倒推市場隱含的質量期權價值。該方法運用如式(1)的持有成本模型計算出不含質量期權的國債期貨價格，再計算其與國債期貨的市場價格之差，認為就是市場隱含的質量期權價值，如Gay等(1984)和Hemler(1990)。Hemler(1990)發現用此方法計算得到的1977—1986年間美國長期國債期貨隱含質量期權的價值大約為期貨面值的0.3%。與“已實現期權價值法”一樣，“隱含期權價值法”也不需要對債券價格和利率過程做任何設定;但“隱含期權價值法”可以利用每個時刻的國債期貨成交價格，而不像與“已實現期權價值法”那樣只能利用到期日的交割數據，因此對數據的要求較低。然而，Chance等(1993)指出，“隱含期權價值法”的一個重要缺陷是，由于市場價格中存在噪音，很難確定該方法得到的究竟真是質量期權價值，還是其他期權的價值、定價偏誤或計算誤差。另外，該方法依然只能計算出質量期權價值的歷史表現，不能用于國債期貨的實時定價。

(三)靜態復制法

此類研究的基本思路是將國債期貨中的質量期權表達為某些市場上有交易的利率期權的組合，從而計算出質量期權的價值。Boyle(1989)和Balbas等(2010)是典型代表。Boyle(1989)的做法是:將含有質量期權的期貨合約拆分為以下兩個資產的組合:標的資產為期貨合約中規定的可交割券中最便宜的債券、執行價格為0的一個歐式看漲期權多頭和一個歐式看跌期權空頭，由此得到期貨的均衡價格實際上相當于此歐式看漲期權當前的價格與er×(T－t)的乘積，其中T－t為從定價時刻到期貨到期日的剩余時間，r為此期限相應的無風險(連續復利)利率。該文章假設各可交割資產收益率(連續復利)的方差協方差矩陣服從多元正態分布，并在假設所有資產的初始價格、收益率標準差以及收益率相關系數都相同的情況下，發現可交割資產的數量越多，期貨價格越低，也就是質量期權的價值越高;收益率之間的相關系數越大，期貨價格越高，也就是質量期權的價值越低。Balbas等(2010)同樣利用資產組合靜態復制的方法，使用含有質量期權的期貨合約的看漲期權和看跌期權來復制期貨合約內含的質量期權，文章還給出了存在市場摩擦時質量期權價值的范圍。靜態復制法直接利用市場數據為質量期權定價，可以規避模型風險和參數風險，但要求所需的利率衍生品在市場上有交易，并且市場價格合理。

(四)聯合分布法

此類方法的基本思路是通過估計債券價格或利率的未來聯合分布來確定質量期權和國債期貨的價格。具體來看，已有研究又大致分為三種做法:

1．資產交換期權法

在國債期貨交割時，空方執行質量期權實際上相當于將其他債券置換為CTD券進行交割，因此將質量期權視為一種多資產的交換期權是很自然的想法。而對于資產交換期權，在某些特定的隨機過程下(主要是聯合幾何布朗運動)，我們可以獲得期權價值的解析解。這使得這一方法看上去非常有吸引力，主要相關文獻包括Margrabe(1978)、Gay等(1984)和Hemler(1990)等。Margrabe(1978)在著名的Black－Scholes－Merton(BSM)期權定價模型的基礎上導出了兩種無紅利資產的交換期權定價公式，這個定價公式的本質是將BSM期權定價公式中確定的執行價格K替換為另一種資產的價格。Gay等(1984)使用此交換期權定價公式對小麥期貨中的質量期權進行了定價。他們假設只有兩種可供選擇的交割對象，所有交割對象都具有相同且非隨機的儲藏成本，利率非隨機，忽略時間期權和地域期權，無稅收。實證分析表明質量期權對小麥期貨價格的影響很大，保守估計至少有2．2%。作者認為由于小麥的同質化程度比較高，質量期權的效果還不算特別明顯，對于標的資產差距較大的金融期貨，比如說長期國債期貨，質量期權的影響會更大。Hemler(1990)假設國債期貨的可交割券集的價格服從聯合幾何布朗運動，市場是完美的，忽略遠期與期貨之間的差別，同時假設所有交易者均選擇同一天進行交割，即忽略時間期權，在此基礎上導出了國債期貨質量期權的定價公式。在可交割券數量為2和3的情況下，Hemler(1990)利用此定價公式得到1977年至1986間質量期權的價值占美國國債期貨價格的比例大約為0．7%至1．2%。Chance(1993)的綜述性文獻對上述工作進行了總結。由于在幾何布朗運動的假設下可以得到資產交換期權的解析解，資產交換期權法使用時比較簡單。但其不足之處也相當明顯:首先，資產交換期權法只有在聯合幾何布朗運動的假設下才能得到解析解，但由于債券價格到期收斂于面值，具有布朗橋的性質，幾何布朗運動的假設并不合理。其次，資產交換期權法在具體使用時需要較大的計算量，因為國債期貨的標的資產多達數十個，這意味著需要估計一個龐大的方差協方差矩陣，在計算公式中還包含有一個和可交割券數量具有大體相同重數的復雜多重積分。

2．動態利率模型法

由于債券價格的隨機過程不易設定，研究者們開始轉向設定利率所服從的隨機過程，以此推斷期貨到期時可交割券價格的聯合分布，進而估計質量期權的價值。相關文獻包括Kane等(1986)、Ritchken(1992)、Bick(1997)、Carr等(1997)、Chen等(2005)、Rendleman(2004)、Nunes等(2007)、Ritchten等(1995)和Ben－Abdallah等(2012)。Kane等(1986)和Ritchken(1992)是該方法的早期文獻。Ritchken(1992)設定了遠期利率的隨機過程，其中波動項被設定為指數形式的σe－κ(T－t)。在這種設定下，即期利率未來的風險中性分布為正態分布。當所有可交割券都是零息債時，文章給出了國債期貨價格的解析解。當可交割券中含有附息債時，解析解將變得非常復雜，但是可以用分位數的方式計算債券價格期望值的數值解，確定未來的CTD券并得到國債期貨的價格。Kane等(1986)則構造了一個由債券的剩余期限和息票率作為因子的利率期限結構模型，在實證部分首先由1978年至1982年間的歷史數據估計得到參數之間的相關系數和標準差，然后以期貨到期前3個月的實際利率期限結構作為初值進行Monte－Carlo模擬，得到了10000種未來可能的利率期限結構情形，并由此確定每一種情形下的CTD券，得到質量期權的價值。該文章發現，由此得到的3個月質量期權價值至少是國債期貨價格的2%到6%。隨著動態利率模型理論的發展，一些常見的動態利率模型被運用到質量期權的定價中來，包括Vasicek模型、CIR模型、BDT模型和HJM模型。其中，Bick(1997)假設無風險利率的隨機過程服從Vasicek模型，由此得到兩種情形下含有質量期權的期貨價格的閉式解，一種情形的標的資產為n只不同到期期限的零息債，另一種情形的標的資產是n種商品。對于前一種情形，期貨價格的解的形式類似于這n個零息債各自的期貨價格的某種加權平均。文章將權重系數解釋為等價于一種動態的策略，這種策略利用單個零息債的期貨合約復制了含有質量期權的期貨合約每一瞬間的現金流變化。Carr等(1997)是使用單因子CIR模型的典型文獻，該文通過對瞬時利率建模，得到了國債期貨價格以及質量期權價值的解析解。這個解析解是在假設將未來的即期利率分成多個區間，而每個區間對應于不同的最便宜可交割債券的基礎上得到的。該文章發現，得到的國債期貨價格的解可以視為所有可交割債券現券價格的一個加權組合，也可以視為所有可交割債券期貨價格的一個加權組合。作者將權重系數解釋為某只債券將會成為最便宜可交割券的風險中性概率。這也同時意味著，國債期貨多頭的一方可以通過賣空現券組合或是現券期貨組合來復制國債期貨，實現完全套保。文章還利用短期利率和長期利率因子建立了雙因子模型，兩個因子均服從Vasicek過程，并用雙因子模型進行了實證分析。對1987—1991年美國國債期貨的實證結果表明質量期權對國債期貨價格的影響很大，因此雙因子模型和傳統的持有成本模型得到的結果具有很大的區別。同樣使用CIR模型的還有Chen等(2005)。Rendleman(2004)使用BDT模型對國債期貨及其內含的質量期權進行定價。文章假設利率期限結構和波動率期限結構均為水平，對2002年2月份開始到2003年2月份交割的美國國債期貨的實證結果表明，當即期利率十分接近于美國國債期貨虛擬券的到期收益率6%時，質量期權的價值很大，此時最優套期保值比率會大幅偏離于基于傳統久期得到的套期保值比率，當即期利率遠離6%時，則可以不需要考慮質量期權對套期保值比率的影響。Nunes等(2007)利用HJM模型，在條件近似和一階近似的情況下得到了質量期權價值的解析解，這種方法在任何可交割資產以及任意維數的HJM模型下均可使用。得到的國債期貨的價格可以寫為單個零息債期貨價格的一種加權平均的形式，權重系數中僅含有一維正態分布概率密度函數。在實證部分，該文首先使用Monte－Carlo方法進行測試，發現解析解和模擬的結果之間的差距非常小，小于1個基點。最后作者用三因子HJM模型對從1999年3月到2001年9月在EUREX交易的德國國債期貨進行了研究，發現解析解和真實的市場價格非常接近，日均差距的絕對值不超過8個基點。而質量期權占國債期貨價格的比例非常小，平均不超過5個基點，幾乎可以忽略不計。同樣使用HJM模型的還有Ritchken等(1995)和Lin等(1995)。Ben－Abdallah等(2012)則給出了一種對美國長期國債期貨定價的數值方法。這種方法考慮了美國長期國債期貨合約的所有特征，包括質量期權、百搭卡期權、月末期權在內的所有期權及其相互作用，以及長達三天的交割流程中各個重要時間點的區分。文中將每一個時間點期貨合約的價值用一個值函數來表示，通過比較不同債券執行價值的大小來決定CTD券，通過比較持有價值和執行價值來決定在某個時間點是否交割，通過逆推得到當前合理的期貨價格。為了減少計算量，作者將狀態空間劃分為具有有限數量格點的網格，并用線性插值法來進行近似得到值函數的值。文章使用Vasicek模型、CIR模型和Hull－White模型進行了實證。其中Hull－White模型的參數用Vasicek模型和極大似然估計進行校準，市場接口t時刻的瞬時利率使用NS模型得到。實證結果表明理論期貨價格平均比真實期貨價格高2%，這說明市場有可能高估了交割期權的價值。同時還發現市場高估交割期權價值時，收益率曲線的斜率為正且很大，低估高估交割期權價值時，收益率曲線則接坦。這篇文章是所有文獻中做得最翔實的一篇，但其最大的不足之處是假設債券以一個固定的息票率連續付息，由此替代真實的付息日和付息頻率，這與現實不符。可以看到，“動態利率模型法”克服了“資產交換期權法”的兩個主要缺點:假設可交割券價格服從聯合幾何布朗運動;可交割券的維度太高，從理論上說是為國債期貨和質量期權定價的最合理方法。但“動態利率模型法”相當復雜，而且具有較大的模型風險和參數選擇風險，在具體使用時，需要對具體動態模型的準確性、合理性和可操作性進行權衡和選擇。

3．情景模擬法

在Burghardt等(2005)的專著中提到了一種“情景模擬法”，該方法主要為業界采用。其基本思路是，根據歷史經驗和主觀判斷，推斷到期收益率曲線未來可能的變化情景和發生概率，判斷各種情景下的CTD券，相應計算質量期權價值。“情景模擬法”顯然也是聯合分布法的一種，操作過程相對簡單易于理解，但其準確性顯然依賴于操作者對未來分布的人為判斷，具有較大的主觀性和不精確性。

四、定價方法的比較與選擇

由于質量期權定價難度較大，市場交易者往往傾向于低估甚至忽略質量期權的價值。但現實中應視利率波動率的大小而定。波動率是影響期權價值的重要因素。在利率波動較小的時期，質量期權的價值通常較低，可以暫時不考慮質量期權價值，而直接用“持有成本法”為國債期貨定價，簡單且誤差不會太大。但在利率波動較大的時期，質量期權的價值就不能忽視了，不考慮質量期權的價值，一則會導致定價偏誤，二則會影響套期保值的效果。定價和套期保值兩者是相互影響的:在利率波動較大時，國債期貨的精確套期保值需求特別旺盛;然而，也正是在這樣的時期，空方換券的可能性較大，相應地，質量期權對國債期貨價值的影響也較大。未對質量券期權定價有深入研究，套期保值效果將大打折扣。那么，面對眾多質量期權定價與分析方法，又該如何抉擇?一般來說，“已實現期權價值法”和“隱含期權價值法”主要用于分析質量期權價值的歷史表現，可以為我們分析國債期貨和質量期權價值的市場特征提供重要信息，但并不能用于國債期貨和質量期權的實時定價。“靜態復制法”的使用要求市場上有相關的期權交易且定價比較合理。“資產交換期權法”對前提條件的要求較為嚴格，在國債期貨上使用這一方法可能存在誤差。理論上比較合理的方法是“動態利率模型法”，但異于受到模型風險和參數風險的影響，最好經過一段時間的市場驗證，在各類動態利率模型中做出合適的選擇。如果對投資經理的經驗和判斷能力比較信賴，也可使用“情景模擬法”。因此，在實際使用時選擇何種模型應視真實的市場環境或具體的研究目標而定。總之，本文對我國于2013年新上市的5年期國債期貨的設計原理進行了簡單介紹，并剖析了國債期貨所特有的標準券、轉換因子、CTD券、隱含回購率和質量期權等概念。對于大家共同關注的國債期貨特別是其中的質量期權定價問題，本文給出了不考慮質量期權情形下的國債期貨持有成本定價模型，并對現有研究中關于質量期權定價的文獻進行了述評，對各種定價方法的本質和適用性進行了比較，實際使用時選擇何種模型可以視真實的市場環境或具體的研究目標進行選擇。

作者：陳蓉葛駿單位：廈門大學經濟學院