同心幻方在趨勢無關設計中的研究范文

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《工程數學學報》2016年第三期

摘要:

試驗設計中往往會碰到帶有趨勢干擾因子的情形，這類趨勢可以是由時間效應或空間效應引起的．本文探討了幻方及純幻方在帶有趨勢干擾效應設計中的若干應用．首先，利用幻方的組合性質，得到了一類設計因子與趨勢干擾因子在參數估計上不混雜的設計；其次，采用純幻方，進一步得到了多因子試驗設計中的趨勢無關設計；最后，給出了利用幻方和純幻方構造相應趨勢無關設計的基本方法，同時證明了運用同心幻方進行交叉驗證的結果．

關鍵詞:

同心幻方；多水平；多項式模型；多因子試驗；混雜

1引言

試驗設計自20世紀20年代問世至今，已在農業、工業、生物醫藥、航空航天、經濟管理等領域得到廣泛應用，各種試驗設計方法也得到了迅速發展，如區組設計、部分因析設計、正交設計、均勻設計、空間填充設計、飽和設計、超飽和設計、正交拉丁超立方體設計等等．一般的試驗設計方法并不考慮試驗順序，因為試驗順序常采用“隨機化”準則．然而，在一些試驗中，比如物理或者工程試驗中，一次試驗常常需要花費一定的時間，而整個試驗做完需要一個月或更久，那么，在這些需要長時間完成的試驗中，試驗單元或者試驗環境有可能發生了趨勢性的變化．最后的試驗結果易受到時間或空間效應的干擾．于是，許多學者對設計順序進行了研究.早期，Phillips[1-3]、Daniel和Wilcoxon[4]、Draper和Stoneman[5]等討論了帶有時間趨勢效應的試驗設計順序問題，他們將時間趨勢效應T用一個p階多項式模型來代替。本文同樣采用多項式模型來表示趨勢干擾效應．在這一個模型下，Draper和Stone-man[5]討論了與時間趨勢無關(trend-free)的二水平設計，并且還討論了最小水平變化(levelchange)設計．Cheng和Jacroux[7]給出了二水平時間趨勢無關設計的一種構造方法，Jacroux[8]對帶有時間趨勢的混合水平設計進行了研究，Wang[9]借助并列法對特殊的混合水平情形2p4q進行了討論．近期，也對含有區組的帶有時間趨勢的設計順序進行了研究[10]．然而，文獻中對于多水平和混合水平情形的研究仍然較少，對高水平和混合水平因析設計的研究則更少．幻方，也稱為魔方(magicsquare)，我國數學家楊輝稱其為“縱橫圖”．其與群論，

組合數學密切相關，在純數學和應用數學的研究中都有著重要的意義[11-14]．本文不關注幻方在數學中的性質研究或構造，主要關注幻方在統計中，特別是在工程試驗設計領域中的應用．事實上，早在1964年，Phillips[1,2]發現了幻方可以用于帶有時間趨勢干擾的設計，然而這類設計僅包含兩個因子，其水平數正好等于幻方的階數．Hedayat[15]也研究了幻方的若干統計性質，指出在對干擾因子的參數估計上，幻方可以使得相應最小二乘估計的方差達到最小．本文將進一步說明幻方(純幻方)可以應用在兩因子(多因子)試驗設計中，其對試驗因子的參數估計與干擾因子是1階趨勢無關或線性無關(lineartrendfree)的，并給出相應的構造方法．第2節主要介紹幻方的基本概念及其在帶有趨勢干擾效應的設計中的應用，借助幻方，可以構造出一類與趨勢效應無關的設計，且這類設計主要包括兩個多水平因子．第3節給出主要敘述純幻方在帶有趨勢干擾效應的設計中的應用．借助純幻方，可以構造出一類含有多個與趨勢效應無關因子的設計，同時這類設計也可以應用在含有交互作用項的設計中．第4節是結束語．

2幻方與兩因子趨勢無關設計

例1考慮一個化工廠生產的一種化工產品，影響采收率的因素有多個，包括催化劑種類、反應溫度等．并且這類試驗往往和反應時間有關．下面用表1給出的三階幻方，來設計一個與1階時間趨勢效應無關的設計順序，見表2，其包含兩個三水平因子，取值為{0,1,2}.由于試驗結果往往帶有一定的隨機性，所得試驗結論需要經過一定的統計顯著性檢驗．交叉驗證可以進一步對試驗結果進行比較研究，如果一個設計能夠進行交叉驗證，此時的結論具有更高的可靠性．定義2[11,13]同心幻方也稱嵌套幻方，其可以從中心開始向外輻射，依次剝去最外一層后的方陣均是幻方．定理3當n為奇數時，一個n階同心幻方可以安排含有二個1階趨勢無關因子的設計，且可以進行n12次交叉驗證．證明設M=(mij)是一個n同心幻方，由定理2，幻方的行和列分別可以看作兩個n水平因子，記為A,B，它們均是1階趨勢無關的．所得試驗結果可以進行相應的顯著性檢驗．然后，將該同心幻方剝去最外一層，此時可以用來安排一個含有2個n2水平因子的設計，且仍是趨勢無關的．于是，可以采用該部分數據進行相應的顯著性檢驗，并與第一次結論進行交叉驗證．以此類推，將該同心幻方剝去第二層，并進行第2次交叉驗證．綜上，可以進行n12次交叉驗證．

3純幻方與多因子趨勢無關設計

定理4當n為素數或素數冪時，一個n階純幻方至少可以安排含有四個n水平因子的因析設計，且四個因子均是1階趨勢無關的．證明設M=(mij)是一個n純幻方，由定理2，幻方的行和列分別可以看作兩個因子，記為A,B，它們均是1階趨勢無關的．另外，對于純幻方，存在另外兩個1階趨勢無關的因子C,D．設A,B的水平取值分別為a,b，令因子C取值為mod(a+b,n)，因子D取值為mod(ab,n)，即因子C由幻方中從右上往左下的對角線得到，D由幻方的從左上往右下的對角線得到，則由純幻方定義3可知，所有泛對角線上元素的和均相等．于是。例2對于采收率試驗，例1給出了一個與時間干擾效應無關的設計，但所包含的試驗因子只能為兩個，如果影響因子多于兩個，可以考慮下面的設計，見表5，其包含四個因子，水平取值{0,1,2,3,4}．比如，第一次試驗的水平組合為(1,2,3,4)，即因子A取1水平，因子B取2水平，因子C取值水平為mod(1+2,5)=3，因子D取值水平為mod(12,5)=4．當n為合數時，雖不能像素數情形直接推出四個與趨勢無關的因子，但純幻方仍然可能給出包含多個因子的設計．下面給出一個包含三個因子的采收率試驗設計方案．見表6，因子水平取值為{0,1,2,3}．比如，第一次試驗的水平組合為(3,3,0)，即因子A取3水平，因子B取3水平，因子C取0水平．

4結束語

構造含有高水平因子的趨勢無關設計是比較困難的一個問題，本文給出了一種用幻方和純幻方構造的簡單方法，所有這些設計均可以應用在帶有時間或者空間趨勢干擾效應的工程、生物醫藥等試驗中．其可以避免在數據分析時，試驗結果受時間干擾效應的影響，從而造成在參數估計[20]和變量選擇上的誤判．由于幻方(純幻方)的特殊性，本文僅討論了幻方(純幻方)在等水平設計中的應用，幻方(純幻方)是否可以進一步應用在混合水平趨勢無關的設計中，有待進一步的探討．

作者：馬海南 陳雪平 單位：浙江工業職業技術學院人文社科部 江蘇理工學院數理學院 東南大學數學系