孤立視界熵的統計解釋新方案范文

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《科學通報雜志》2015年第Z2期

今年是Einstein發表廣義相對論(GR)的奠基性論文100周年.在過去的100年中,越來越多的實驗驗證了GR的正確性.現在,人們普遍認為,GR很好地描述了有關引力的很多現象.不過,GR依然面臨一個重要問題:它與20世紀另外一個極其成功的理論——量子理論——尚無法協調.換句話說,結合廣義相對論與量子理論的所謂“量子引力理論”依然沒有圓滿地建立起來.到目前為止,有幾個“量子引力理論”的候選者,包括弦/M理論、圈量子引力等.每一種理論都有其自身的合理之處,但也都存在著一些問題.

黑洞物理學是GR的重要組成部分.20世紀70年代,在Bekenstein和Hawking等人開創性工作的基礎上建立起黑洞熱力學,它為“量子引力理論”的創建提供了一些重要線索.黑洞熵的微觀起源是黑洞熱力學的一個核心問題.1996年,Strominger和Vafa率先應用弦理論的技巧計算了極端黑洞的熵,得到了Bekenstein-Hawking面積熵公式.隨后發現,從圈量子引力出發,也可給出黑洞熵的微觀解釋.到目前為止,已經有許多方法來解釋黑洞的熵,它們各有自己的假設和適用范圍,尚無一種方法堪稱完整.孤立視界是穩態黑洞事件視界概念的推廣,它將穩態黑洞推廣到更現實的情況,在數學物理、數值廣義相對論和量子引力中有許多應用.黑洞熱力學第零定律和第一定律可以很直接地推廣到孤立視界上,應用圈量子引力方法亦可對孤立視界的熵提供微觀解釋:視界上的自由度可以用Chern-Simons(CS)理論來描述,于是熵的微觀起源就是視界上CS理論的Hilbert空間的維數.然而,由于CS理論只能定義在奇數維時空上,因而這一方案只能用于解釋偶數維時空中黑洞的熵.近兩年,又出現兩種密切相關但又有所不同的解釋黑洞熵的新方案:應用邊界BF理論取代邊界CS理論來描述視界上的自由度.同樣作為拓撲場論,BF理論的最大優點是可以定義在任意維時空上,從而原則上不會有維度的限制.這兩方案確實可以用于處理任意維時空中無轉動和有轉動的孤立視界,也可用于標量張量引力理論以及與標量場非最小耦合理論中的孤立視界,甚至在做了一定的假設后可用于Lovelock理論.本文就介紹這兩種新方案.為方便起見,采用的單位制.

1孤立視界

黑洞事件視界(eventhorizon)是一個非常有用的概念,不過,其定義需要知道整個時空的性質,這在物理上是很不自然的.鑒于此,Ashtakar等人提出了孤立視界(isolatedhorizon)的概念,其最大優點在于,定義只需用到局部信息.根據定義,四維時空中的孤立視界是一個3維類光超曲面它的類光法矢la的膨脹l是0,Einstein場方程在的一個鄰域內成立。

2四維時空中孤立視界的熵

2.1作用量與辛形式考慮一個以孤立視界為內部邊界的時空區域,在此區域上,廣義相對論的Palatini作用量。

2.2SO(1,1)BF理論與系統的量子化一個純SO(1,1)BF理論的作用量給出場方程是對比方程(15)會發現,聯絡場依然是平坦的,而場卻不再是閉的,時空上的場01為場提供了源.與純BF理論作用量一樣,在孤立視界上的BF理論的作用量在如下兩類規范變換下保持不變。

2.3熵的計算孤立視界的熵來自于整個量子體系中與內邊界自由度(即視界)相關聯的部分,而與其他部分的自由度無關.所以需要通過求跡方法把其他自由度去掉,得到一個密度矩陣,而這個密度矩陣的vonNeumann熵就是孤立視界的熵.上述計算說明,對于作用量(6)、辛形式(12)和第一種BF理論量子化的方案,孤立視界熵歸結為邊界上BF理論的微觀自由度數.對于作用量(13)、辛形式(14)和第二種BF理論量子化的方案,孤立視界的熵則歸結于引力理論滿足邊界條件的微觀態在邊界上的自由度數.

3各種推廣

上述方案不僅可以用于解釋廣義相對論在四維時空中孤立視界熵的統計起源,還可以用于解釋各種引力理論、各種維數時空中的孤立視界熵的統計起源.以下給出幾個例子.

3.1高維孤立視界一個最直接的推廣是高維時空中的黑洞.盡管現在觀測到的時空是四維的,但是并不排除在極小尺度上額外維度的存在,或者像“膜世界”這樣的假說.單單從理論上講,研究高維黑洞也是有意義的,比如在四維漸直的時空中,黑洞的拓撲都是球形的,但是在高維,可以存在其他拓撲的黑洞.

3.2Lovelock理論中的孤立視界的熵Lovelock理論[38]是廣義相對論在高維時空上的一個自然推廣,其作用量包含高階導數項,但由于作用量的特殊選擇,使得場方程中只包含二階導數項,從而避免了一般高階引力理論中的“幽靈”問題.在D維時空中,作用量的形式為。在Lovelock理論中也存在黑洞解,黑洞本身也具有溫度和熵,并且滿足熱力學第一定律.只不過此時黑洞熵不再滿足面積熵公式,而是遵守更一般的Wald熵公式.黑洞的事件視界也可以推廣為孤立視界,只是定義需要做相應的改變.重要的是,孤立視界上的度規和聯絡是不隨時間變化的,孤立視界的幾何性質不依賴于作用量.所以此前涉及孤立視界性質的討論都可以照搬過來.

3.3與標量場非最小耦合的理論中孤立視界的熵上面討論的都是純引力理論情況,這一小節討論引力與物質場耦合的情況.當這種耦合是最小耦合時,孤立視界的熵仍滿足面積定律,物質場沒有額外的貢獻.只有當物質場與引力場非最小耦合時,孤立視界的熵不再滿足面積定律,而是滿足更一般的Wald熵公式.

4總結與討論

本文利用邊界BF理論來解釋孤立視界熵的微觀起源.從一階作用量出發,兩次變分后可以得到辛流.而由于孤立視界的性質,SO(1,1)BF理論的辛流通過視界的通量可以表示成通過最后與最初截面的通量之差.而辛流通過任意截面的通量正好是SO(1,1)BF理論的辛形式,所以,孤立視界可以由SO(1,1)BF理論來描述.應用邊界BF理論,孤立視界的熵既可以解釋成由邊界上SO(1,1)BF理論的量子態的自由度數確定,也可以解釋成由滿足孤立視界給出邊界條件的所有量子態的邊界自由度數確定.邊界BF理論方案適用性廣泛,可用于任意維度的廣義相對論,標量-張量引力理論以及引力與標量場非最小耦合理論.對于Lovelock理論,加上“量子化的通量”假設以后,同樣可以得到孤立視界的Wald熵公式.

正如前面所指出的,相較邊界CS理論方案,邊界BF理論方案的一個最大優點在于它可以定義在任何維度上.另一大優點在于SO(1,1)對稱性存在于所有的孤立視界之中,不管其是否還存在其他的對稱性.于是,可以統一地處理各種孤立視界.本文在計算熵的過程中,采用的是“通量約束”而非通常的“面積約束”,其優越性可從Lovelock引力理論和與標量場非最小耦合的引力理論中的孤立視界熵的形式看出.在這兩種理論中,視界的熵都不再與面積成正比,而是滿足一般的Wald熵公式.而Wald熵公式正好可以寫成通量算符積分的形式,也就是說,此時的熵不是與面積成正比,而是與通量成正比.邊界BF理論方案在解釋黑洞熵方面有著廣泛的應用,而另一個有廣泛應用的是共形場論方案.

在邊界BF理論方案中,與孤立視界相關聯的整個時空幾何全部納入考慮之中,而在共形場論方案中只慮了近視界的2維幾何.前者用的是內部SO(1,1)對稱性,而后者則是從微分同胚不變性中挑出2維的共形對稱性.前者在邊界上添加了一個明確的BF理論,而后者則相當于添加一個共形場論,其具體形式尚不清楚.前者給出的熵公式中包含一個待定參數,而后者可以精確地給出Bekenstein-Hawking熵公式.前者除了給出Bekenstein-Hawking熵公式以外,還可以給出更一般的Wald熵公式,而后者是否能給出Wald熵公式還有待探討.這兩者之間是否存在某種內在的聯系仍是一個令人感興趣、值得探索的問題。

作者：黃超光 王晶波 單位：中國科學院高能物理研究所