論實半正定矩陣秩約束錐的若干性質范文

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摘要:討論了實半正定矩陣錐集合S(r)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤r},得到了當r取不同數值時的若干性質,并對該集合的結構與性質進行了研究,得到了若干基本結論。最后給出例子驗證了結論。

關鍵詞:實對稱矩陣;錐;凸錐;共軛凸錐;維數

在輸出反饋和魯棒控制[1-2]、組合優化[3]、矩陣補全[4]、系統模型降階[5-7]、圖形圖像處理[8-9]等問題中,通常可以把原問題轉化為一個帶有實半正定矩陣秩約束的模型來求解。但是該模型的引入直接帶來了兩個問題:一是秩約束的可行域究竟是什么樣的,它有什么樣的幾何結構與性質;二是由于秩約束為一個非凸不可微約束,使得轉化后優化問題的求解變得比較復雜,經典的求解優化問題的方法不再能用來直接求解該模型,所以研究如何逼近該非凸的秩約束優化問題的求解是必要的。第二個問題是近年來的研究熱點。常用的方法是用凸函數約束或者其他方法去逼近秩約束,得到了一些比較好的結果[10-12]。這些結果主要集中在對于秩函數的逼近函數研究上,而對該秩約束的可行域的結構與分析性質等卻少有研究[13-15]。本文對這個問題進行了初步研究,得到一些結論。這些結論對于進一步深刻了解秩約束的性質以及如何逼近該約束具有一定的意義。采用符號如下:矩陣A∈Sn×n表示矩陣A為n×n的對稱矩陣,A≥0(或>0)表示A為半正定(或正定)矩陣,矩陣A∈Sn×n表示矩陣A為n×n的對稱矩陣,A≥0(或>0)表示A為半正定(或正定)矩陣。

1定義與引理

定義1:錐。K為一集合,x0∈K,若∀x∈K,λ>0,x0+λ(x-x0)∈K,稱K為以x0為頂點的錐。特別當x0=0時,K表示以0為頂點的錐,且λK⊂K,即此時錐對正數乘法封閉。

定義2:凸錐。若K為錐,且∀x1,x2∈K,λ1,λ2>0,有λ1x1+λ2x2∈K,則稱K為凸錐。即凸錐對正數加法和正數乘法封閉。

定義3:凸錐的邊界。若凸錐中的任意點都存在一個小鄰域,使得該鄰域內既有屬于凸錐K的點,也有不屬于凸錐K的點,則稱該點集為凸錐K的邊界,記為∂K。定義4:共軛錐。設為K凸錐,則K∗={x∗|〈x,x∗〉≥0,x∈K}稱為K的共軛凸錐。顯然,凸錐的共軛錐K∗也是凸錐。下面先考慮集合B(r)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)=r}的性質。引理1:當r=n時,集合B(n)={A∈Sn×n|A>0,rank(A)=n}為不包含原點的一個凸集。證明:由B(n)的定義,0矩陣不屬于B(n),且不存在矩陣A0∈B(n),使得對任意的正定矩陣A∈B(n),A0+λ(A-A0)>0,∀λ>0,所以B(n)不是錐;另一方面,假設A1,A2∈B(n),λ1,λ2>0,根據矩陣的正定性可知,λ1A1+λ2A2仍為正定矩陣,根據凸集的定義知,B(n)為凸集,但是不包含原點。引理2:當r=n-1時,集合B(n-1)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)=n-1}不是錐,也不為凸集。證明:因為B(n-1)不滿足錐和凸集的定義,從而可以證明。例如:引理3:集合S(n)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤n}為錐,且為凸錐。證明:根據錐的定義,顯然,0矩陣屬于S(n),且對∀λ>0,有λA∈S(n),從而S(n)為錐;又∀A1,A2∈S(n),λ1,λ2>0,根據矩陣的正定性可知,λ1A1+λ2A2∈S(n),從而根據凸集的定義知,S(n)為凸集,且包含原點。同時引理3還表明,因為矩陣A為n階矩陣,r=n時的秩約束為平凡約束,則此時該集合的約束僅包含正定約束,不包含秩的約束。引理4:當r≤n-1時,集合S(r)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤r}為錐,但為非凸錐。證明:根據錐的定義可以證明S(r)為錐。根據引理2的反例知道,該錐為非凸錐。引理5:任意閉凸集為集合的相對內點和集合的邊界的并集[16]。另外,還有一個結論———引理6。引理6:若r1<r2,則S(r1)⊂S(r2)。證明:由定義顯然可證。該引理表明,秩小的錐S(r)在秩大的錐S(r)的邊界上。

2主要結果

定理1:半正定矩陣約束S(n)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤n}=∪nr=0S(r)為一個閉凸錐,其完全邊界∂S(n)=∪n-1r=0S(r)為錐,且非凸;其相對內部intS(n)=B(n)為凸集,且非錐。證明:根據引理1到引理5可以證明。由引理1可知,B(n)為不包含原點的凸集,為S(n)的內部;再根據引理5,及引理3中S(n)的性質,從而可以證明:

定理2:凸錐S(n)的共軛錐S∗(n)也為閉凸錐。證明:定義矩陣A,B的內積〈A,B〉=tr(ATB),根據共軛錐的定義S∗={A∗|〈A,A∗〉≥0,A∈S(n)},由于S(n)為凸錐,根據凸錐的性質,凸錐的共軛錐仍為凸錐,閉集的共軛仍為閉集,從而S∗(n)為閉凸錐。

定理3:半正定矩陣約束0S(k)證明:該結論的證明可以由集合閉的性質得到。閉集為其內部的閉包,由半正定矩陣秩約束的定義及定理1結論可以證明。說明:該結論為文獻[17]中的定理3,它證明了半正定矩陣秩約束空間的維數。由該結論可知,半正定矩陣秩約束對應的錐是一個線性空間,且該空間的維數可以計算,從而對該錐空間的性質有了進一步的了解。

3例子矩陣

A∈S2×2,錐S(1)={A∈S2×2|rank(A)≤1},S(2)={A∈S2×2|rank(A)≤2}(A為半正定矩陣)的圖形如圖1所示。在圖1中,閉凸錐S(2)為曲面所包含的內部部分且包含邊界曲面,為凸錐。其邊界曲面為S(1),是錐但不是凸的,因為曲面上元素的線性組合不一定屬于該曲面。需要說明的是,當矩陣的維數大于2時,凸錐S(r)的完全圖形及其邊界無法在三維空間中畫出,三維空間只能畫出其部分邊界的圖形。

4結論

討論了實半正定矩陣錐集合S(r)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤r},得到了當r取不同值情況下集合的若干性質,并對該集合的結構與性質進行了初步的研究,得到了幾個基本結論。這些結論對于矩陣補全、模型降階等問題的求解具有一定的理論意義。結論刻畫了問題模型中秩約束可行域的幾何形狀及其性質,對于進一步深刻研究矩陣秩約束優化問題以及問題求解具有一定的價值。最后給出例子驗證了結論。

參考文獻:

[7]李久芹,楊洪禮.基于秩約束逼近的系統模型降階[J].山東科技大學學報(自然科學版),2016,35(6):114-122.

[16]劉光中.凸分析與極值問題[M].北京:高等教育出版社,1991:58-81.

作者：賈月筱 楊洪禮 單位：山東科技大學